提起平行線，大家都不陌生——兩段平行延伸的鐵軌、黑白相間的斑馬線，這都是生活中可以觀察到的平行線，在文學(xué)作品中我們也會(huì)看到這樣的描述：" 兩個(gè)人就像平行線一樣，永遠(yuǎn)沒有交集 "。

在我們的印象中，平行線具有永不相交的性質(zhì)。但有人卻說：" 平行線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)交于一點(diǎn) "。

那平行線之間到底有沒有交點(diǎn)？它們到底會(huì)不會(huì)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相遇呢？

圖 1 平行鐵軌

圖片來源：百度百科

要弄明白這個(gè)問題，我們需要先了解平行線永不相交這個(gè)說法是怎么來的。

Part.1

平行線誕生于平面幾何第五公理

古希臘數(shù)學(xué)家，幾何學(xué)之父歐幾里得在研究幾何學(xué)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了有些幾何學(xué)知識(shí)屬于經(jīng)由人類長期反復(fù)的實(shí)踐表明正確，不需要由別的知識(shí)推出。于是歐幾里得在《幾何原本》中給出了五大公理 [ 1 ] ，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了幾何學(xué)體系。這五大公理為：

公理 1：任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線

公理 2：一條有限線段可以繼續(xù)延長

公理 3：以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫圓

公理 4：凡直角都彼此相等

公理 5：同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于二直角的和，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。

在五大公理中，前四個(gè)看著都比較簡潔明了，第五公理則相對啰嗦。

后來的研究推導(dǎo)表明，第五公理與以下兩個(gè)說法等價(jià)——一是，三角形的內(nèi)角和為 180 度；二是，過直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線不與該直線相交。

而第二個(gè)說法中兩條永遠(yuǎn)不相交的直線則被稱作平行線。這便是平行線永不相交這一說法產(chǎn)生的原因。也正因?yàn)榈谖骞砼c平行相關(guān)，該公理又被稱為平行公理。

Part.2

非歐幾何 VS 平行公理

從平面幾何第五公理提出以來，數(shù)學(xué)家們就開始思考一個(gè)問題：這一公理能否被別的公理替代？

19 世紀(jì)，高斯、巴切夫斯基、波爾約等人各自獨(dú)立嘗試了使用不同的平行公理。最終根據(jù)過直線外一點(diǎn)能做幾條直線與已知直線平行，形成了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何兩大新的幾何體系。

因?yàn)檫@兩大體系與歐幾里得幾何學(xué)不同，所以又被統(tǒng)稱為 " 非歐幾何 "。

羅巴切夫斯基幾何，簡稱為羅氏幾何，認(rèn)為過直線外一點(diǎn)至少能做出兩條直線與已知直線平行。

圖 2 羅氏幾何

圖片來源：百度圖片

圖 2 所示的雙曲面形象地展示了這一情況。在一個(gè)雙曲面上，因?yàn)榭臻g的彎曲，過直線外一點(diǎn)可以畫出好幾條與已知直線平行的直線。

因?yàn)檫@一幾何描繪的是雙曲面空間中的情況，所以也被稱為 "雙曲幾何"。

在這樣的雙曲空間中，過直線外的一點(diǎn)，可以做出多條直線與已知直線平行。此外，在雙曲空間中任意做出一個(gè)三角形，三角形內(nèi)角和小于平面幾何中的內(nèi)角和（180°）。

黎曼幾何，則假定過直線外一點(diǎn)不存在與已知直線平行的直線。羅氏幾何考慮的是雙曲面中的幾何學(xué)，黎曼幾何考慮的則是橢圓空間中的幾何學(xué)。

因此，黎曼幾何也被稱為 "橢圓幾何"。

圖 3 黎曼幾何

圖片來源：百度圖片

圖 3 形象地展示了黎曼幾何的特點(diǎn)。在一個(gè)橢圓空間中，三角形內(nèi)角和小于 180 度。并且因?yàn)闄E圓空間中所有直線都經(jīng)過橢圓空間最頂端的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，過直線外一點(diǎn)做不出已知直線的平行線。

這也是我們常說的 " 平行線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) " 這一說法的來源。

實(shí)際上，按照幾何學(xué)的定義，當(dāng)我們使用黎曼幾何研究問題的時(shí)候，所有直線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，也就不存在平行線的概念了，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)的定義上，稱為平行線，就必須是同一平面內(nèi)永遠(yuǎn)不相交的直線。

從這個(gè)角度講，" 平行線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) " 是一個(gè)數(shù)學(xué)上的偽命題，但卻具有一定的藝術(shù)價(jià)值。

Part.3

非歐幾何有何應(yīng)用價(jià)值？

平面幾何在我們的實(shí)際生活中有著非常大的應(yīng)用價(jià)值。小到機(jī)械制造，大到地理信息測量，都離不開平面幾何的計(jì)算。這也是為什么我們從小到大學(xué)習(xí)的都是平面幾何。

那非歐幾何就是數(shù)學(xué)家們拍腦袋拍出來的嗎？非歐幾何有沒有應(yīng)用價(jià)值呢？

答案是肯定的。

非歐幾何在特定的空間、特定的問題中具有很高的應(yīng)用價(jià)值。

從上文中我們可以看到，非歐幾何主要用來研究雙曲空間、橢圓空間這兩種非平面空間中的幾何學(xué)問題。而非平面空間在我們的實(shí)際生活中也是廣泛存在的。

非平面空間的出現(xiàn)，最常見的有兩種情況：

第一種情況是大質(zhì)量天體導(dǎo)致的空間扭曲。

根據(jù)廣義相對論的相關(guān)理論，在大質(zhì)量天體附近，空間會(huì)發(fā)生較為明顯的彎曲。在日常生活中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果將一個(gè)重球放在支起來的布上，重球就會(huì)將布料壓彎。

而在宇宙中，大質(zhì)量天體就是產(chǎn)生壓迫的重球，空間結(jié)構(gòu)就是支起來的布料，最后就會(huì)像圖 4 一樣，在大質(zhì)量天體的周圍，產(chǎn)生一定的空間彎曲。

圖 4 大質(zhì)量天體產(chǎn)生明顯空間彎曲

圖片來源：百家號(hào)

在這樣的彎曲空間中進(jìn)行宇宙航行時(shí)，平面幾何的相關(guān)知識(shí)就不再適用，反而是非歐幾何有了用武之地。單個(gè)天體產(chǎn)生的空間彎曲接近橢圓面，而多個(gè)天體則可能在交界區(qū)域產(chǎn)生接近于雙曲面的彎曲空間。

如果人類有一天邁向宇宙的星辰大海，根據(jù)非歐幾何計(jì)算清楚彎曲空間中的幾何關(guān)系，是實(shí)現(xiàn)宇宙航行必不可少的技術(shù)。

第二種非平面空間是生存平面本身存在易忽視的曲率。

我們生活的地球，其實(shí)本身就是一個(gè)橢球面。當(dāng)我們在太空中觀察地球時(shí)，很容易發(fā)現(xiàn)地球表面存在彎曲。這時(shí)候?qū)τ诘厍蛑袔缀侮P(guān)系，就可以通過空間立體平面幾何進(jìn)行分析。

但是如果我們只在大地上進(jìn)行觀測，無法獲得太空中的視角，那地球表面這個(gè)二維空間中的幾何關(guān)系，其實(shí)就符合橢圓幾何的相關(guān)性質(zhì)。

基于地球表面的這種特點(diǎn)，黎曼幾何可以被用于地球表面的度量之中。通過基于黎曼幾何的方法，對于地球表面的測地線進(jìn)行研究，" 測地幾何 " 這一門學(xué)科就建立起來了。

因此，在地球表面研究地理信息、航空航海等問題時(shí)，非歐幾何中的黎曼幾何就有著很高的應(yīng)用價(jià)值。

最后，回到我們最開始的問題，平行線本身的數(shù)學(xué)定義就是沒有交點(diǎn)的，平行線也不會(huì)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相遇。只是在黎曼幾何中，兩條看上去 " 平行 " 的直線會(huì)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相遇，但它們實(shí)質(zhì)上不屬于平行線。

雖然平行線注定不會(huì)相遇，但是對平行線和平面幾何第五公理的研究，卻產(chǎn)生了羅氏幾何、黎曼幾何等非歐幾里得幾何學(xué)，并在各方各面有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)研究很多時(shí)候都是這樣，看上去奇思妙想的 " 無用之舉 "，最后反而在實(shí)際生活中找到了妙用。