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樓上傳來的 " 鋸木頭 " 聲，總是音調(diào)詭異，卻執(zhí)著而堅(jiān)定。

撰文 | 不周

審校 | 栗子、二七

如果說樓上有個(gè)鄰居突然開始學(xué)樂器，我想絕大多數(shù)人都希望他學(xué)的不是二胡和小提琴。畢竟這兩種樂器入門階段發(fā)出的聲音實(shí)在稱不上美妙，更不用說有些人入門總是特別的漫長。二胡和小提琴都是依靠拉動琴弓摩擦琴弦，使之震動而發(fā)聲，這與鋼鋸拉扯摩擦，從而鋸斷木頭的過程十分相像。因此，我們經(jīng)常會用 " 鋸木頭 " 來比喻兩種樂器不夠優(yōu)美的聲音。

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但實(shí)際上，鋼鋸本身也是一種樂器，配上一把琴弓，這個(gè)帶給我們無數(shù)噩夢的鋼片，就會搖身一變，化身為鋸琴（singing saw）。

乍看之下，鋸琴的演奏方式與二胡有些相似，都需要將樂器的底部放在腿上。鋸琴演奏者可以用雙膝夾住鋸的把手，然后一只手控制音高，另一只手拉動琴弓發(fā)聲。與鋼鋸摩擦其他物品時(shí)發(fā)出的聲音截然不同，鋸琴的琴聲悠長而空靈，聽起來還有些像女高聲。然而鋸琴的特殊之處卻不僅僅在于材料和音色。

聲音是由物體振動產(chǎn)生，音高則取決于振動的頻率。而幾乎所有我們熟知的樂器，都是通過調(diào)整發(fā)聲器件的長度，從而調(diào)整振動頻率來控制音調(diào)高低的。比如古箏、提琴、吉他等弦樂器是通過調(diào)節(jié)琴弦的長短控制音高；長笛、單簧管等管樂器，則是通過按鍵調(diào)節(jié)空氣柱的長短；一些具有固定音高的打擊樂器，比如編鐘，就是通過鐘體大小來決定音高。

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然而，鋸琴既沒有琴弦也沒有琴鍵，更不會有體積上的變化。那么如何能控制它的音調(diào)呢？這塊薄薄的金屬片，它調(diào)整音調(diào)的方式就是通過彎曲琴身，改變形狀。如果從側(cè)面看鋸琴，很明顯它是一條直線。當(dāng)這條線發(fā)生幾何形變，彎曲成 S 形時(shí)，會出現(xiàn)一個(gè)拐點(diǎn)，被音樂家稱為 " 甜蜜點(diǎn) "（sweet spot）。在甜蜜點(diǎn)處敲擊或用琴弓拉奏，會使鋸琴發(fā)出清晰、能持續(xù)很久且具有特定音高的聲音。而調(diào)節(jié) S 的形態(tài)，就能改變鋸琴的音調(diào)。這一奇特的聲學(xué)特性引發(fā)了科學(xué)家強(qiáng)烈的好奇。今年發(fā)表在美國科學(xué)院院刊（PNAS）的一項(xiàng)研究中，美國哈佛大學(xué)物理系的研究人員揭示了鋸琴發(fā)聲背后獨(dú)特的數(shù)學(xué)物理特性。

如何發(fā)出美妙的聲音？

當(dāng)我們敲擊一塊彈性連續(xù)介質(zhì)，比如一塊金屬片時(shí)，振動會從敲擊點(diǎn)開始，快速擴(kuò)散到整個(gè)介質(zhì)一起發(fā)生振動，而后快速消散。這個(gè)過程很像是在水中扔下一塊石子，當(dāng)石子觸碰到水面后，它激起的水的振動會隨著漣漪一圈圈擴(kuò)散到遠(yuǎn)處，直至消失。因此當(dāng)鋼鋸平放或彎曲成 J 形時(shí)，敲擊它或者用琴弓拉奏，都會導(dǎo)致整個(gè)鋼片一起振動，聲音沉悶而短暫。

鋸琴只有在彎曲成 S 形，才會出現(xiàn)甜蜜點(diǎn)（sweet spot）。

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然而神奇的是，當(dāng)鋸琴彎曲成 S 形時(shí)，一切都不一樣了，甜蜜點(diǎn)處發(fā)生的振動持久而穩(wěn)定。這意味著，振動并沒有像之前一樣擴(kuò)散到整個(gè)鋼鋸，而是只發(fā)生在甜蜜點(diǎn)局部。鋸琴此時(shí)的振動模式就像是，將石子扔進(jìn)水里之后，整個(gè)水面只有石子入水點(diǎn)附近有波紋，波紋并沒有擴(kuò)散到周圍，如此奇怪。

研究人員通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果在遠(yuǎn)離甜蜜點(diǎn)的地方拉奏或敲擊，或者演奏時(shí)將形狀改變?yōu)?J 形，鋸琴的聲音都會迅速地消失。而不管鋸琴彎曲的幾何形狀如何，頂部曲度大一些或者小一些都不重要，只要它是 S 形，能夠出現(xiàn)曲率反轉(zhuǎn)的甜蜜點(diǎn)，就能發(fā)生穩(wěn)定而持久的局部振動模式。

我們知道，當(dāng)一個(gè)面的曲率增長時(shí)，其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度也會隨之提升，比如我們想優(yōu)雅地吃到一塊披薩的尖，就需要沿中軸線彎折它，這樣披薩尖部才不會軟塌塌地垂下去。而彎成 S 的鋸琴，上下兩個(gè)彎的曲率也都會起到類似的結(jié)構(gòu)增強(qiáng)作用。由于曲率發(fā)生反轉(zhuǎn)，甜蜜點(diǎn)附近的曲率基本為零，這意味著此處平坦而柔軟，更容易發(fā)生振動。而一旦遠(yuǎn)離甜蜜點(diǎn)，就會進(jìn)入受曲率影響、不易發(fā)生振動的部分。這導(dǎo)致振動只發(fā)生在曲率為零的局部，不會擴(kuò)散到彎曲的部分，從而避免沿邊緣耗散衰減，損失大部分能量，振動也因此能更加持久。

高質(zhì)量的諧振器

鋸琴的局部振動模式看起來很像是受到周圍彎曲結(jié)構(gòu)保護(hù)的狀態(tài)。如果用數(shù)學(xué)來描述的話，局部振動依賴于變化曲率的空間，并在空間曲率的拐點(diǎn)處，也就是曲率邊緣獲得了拓?fù)浔Ｗo(hù)。而振動對于 S 的具體形狀絲毫不敏感的特性，也驗(yàn)證了局部振動受到拓?fù)浔Ｗo(hù)。這些都讓研究人員聯(lián)想到了一種內(nèi)部絕緣而邊緣導(dǎo)電的特殊量子材料，拓?fù)浣^緣體（topological insulators）。拓?fù)浣^緣體無論怎樣分割，或者存在缺陷、雜質(zhì)甚至外界刺激，都不會影響它內(nèi)部絕緣、邊緣導(dǎo)電的特性，而這正是拓?fù)浔Ｗo(hù)的結(jié)果。

而鋸琴中曲率為零的甜蜜點(diǎn)，本質(zhì)上就和拓?fù)浣^緣體中受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)類似，它充當(dāng)了 S 形鋼片上下兩個(gè)彎曲部分的邊緣，只不過這個(gè)奇特的邊緣出現(xiàn)在了鋼片的內(nèi)部。這揭示了鋸琴局部振動模式的幾何特征，而這其實(shí)與振動源、振動體的規(guī)模和材料都毫無關(guān)聯(lián)。因此它也同樣能適用于其他任何彈性連續(xù)介質(zhì)材料，比如原子級厚度的石墨烯。

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由于受到了拓?fù)浔Ｗo(hù)，鋸琴的局部振動模式在沒有持續(xù)的能量來源時(shí)，依然能持續(xù)振動很長時(shí)間，而能量幾乎只會耗散到周圍的環(huán)境中。因此這種幾何特征，也可以應(yīng)用到高質(zhì)量振蕩器的設(shè)計(jì)中。一些每秒振蕩數(shù)億次的微機(jī)械振蕩器常常被用作定時(shí)器，通常我們既不想它消耗太多的能量，又希望它振蕩的頻率盡可能保持恒定，所以將振蕩隔離保護(hù)起來就顯得尤為重要。這項(xiàng)研究正說明，與其不斷嘗試各種材料，不如通過調(diào)控幾何形狀，來實(shí)現(xiàn)更高質(zhì)量的振蕩。

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